OH MATEMATIKA !!!: Deret Aritmatika

Disini saya akan memposting beberapa soal deret aritmatika berikut caranya, dan untuk melihat penjelasan tentang deret aritmatika klik disini
1. Hitung jumlah deret aritmatika dari 4 + 9 + 14 + .... + 104 !

jawab :

dari soal diatas kita dapat menemukan :

$a$ = 4
$b$ = 9 - 4 = 5
$U_{n}$ = 104

sekarang kita akan mencari $n$ :

$U_{n} = a + (n-1).b$

       $104=4+(n-1)5$
$104-4=(n-1)5$
       $100=5n-5$
$5n-5=100$
          $5n=100+5$
          $5n=105$
             $n=\frac{105}{5}$
                 $=21$

sekarang kita masukan ke dalam rumus :
$S_{n} = \frac{n}{2}(a+U_{n})$

$S_{21}=\frac{21}{2}(4+104)$
$=\frac{21}{2}(108)$
$=1134$

dari penyelesaian diatas kita dapat menemukan bahwa jumlah dari deret aritmatika tersebut adalah 1134

2. Diketahui suku ketujuh dan suku ketiga dari deret aritmatika berturut-turut adalah 37 dan 17. tentukan jumlah lima suku pertama dari deret tersebut !

jawab :
diketahui : $U_{3}$ = 17

                           $U_{7}$ = 37

Cara pertama :
dari $U_{n} = a + (n-1).b$ , diperoleh :
$U_{3}$ = $a+2b=17$        ...... (1)
$U_{7}$ = $a+6b=37$       ...... (2)

Untuk mencari $b$ , eliminasi $a$ dari persamaan (1) dan (2) :

$a+2b=17$
$\frac{a+6b=37}$ $-$
      $-4b=-20$
           $b=\frac{-20}{-4}$
                $=5$

Untuk mencari $a$ , subtitusi $b$ ke persamaan (1) atau anda juga bisa mensubtitusikannya ke persamaan (2) :
   $a+2b=17$

$a+2(5)=17$
     $a+10=17$
              $a=17-10$
                  $=7$

setelah kita dapat menemukan $a$ dan $b$ . sekarang kita dapat mencari jumlah lima suku pertama dari deret aritmatika tersebut :

$S_{n} = \frac{n}{2} \left ( 2a + (n-1)b \right )$
$S_{5}=\frac{5}{2}\left ( 2.7+(5-1)5 \right )$
       $=\frac{5}{2}\left ( 14+20 \right )$
       $=\frac{5}{2}(34)$
       $=85$

Cara kedua :

mencari $b$ :

$b=\frac{37-17}{7-3}$
     $=\frac{20}{4}$
     $=5$

mencari $a$ :
      $U_{n} = a + (n-1).b$

         $17=a+(3-1).5$
         $17=a+2\:.\:5$
         $17=a+10$
$17-10=a$
                $=17-10$
               $=7$

setelah kita dapat menemukan $a$ dan $b$ . sekarang kita dapat mencari jumlah lima suku pertama dari deret aritmatika tersebut :
$S_{n} = \frac{n}{2} \left ( 2a + (n-1)b \right )$
$S_{5}=\frac{5}{2}\left ( 2.7+(5-1)5 \right )$
       $=\frac{5}{2}\left ( 14+20 \right )$
       $=\frac{5}{2}(34)$
       $=85$

dari penyelesaian di atas kita dapat menemukan bahwa jumlah lima suku pertama dari deret aritmatika tersebut adalah 85

3. Seorang ibu membagikan permen kepada 5 orang anaknya menuru aturan deret aritmatika. seakin muda usia anak, semakin banyak jumlah permen yang diperolehnya. jika permen yang diterima anak kedua 11 buah dan anak keempat 19 buah, maka jumlah seluruh permen adalah .....

jawab :
anak kedua $\mapsto U_{2}=11$
anak keempat $\mapsto U_{4}=19$
jumlah total permen, dari 5 anak $=S_{5}$

penyelesaian :
dari $U_{n} = a + (n-1).b$ , diperoleh :

$U_{2}=a+b=11$ ...... (1)
$U_{4}=a+3b=19$ ...... (2)

Untuk mencari $b$ , eliminasi $a$ dari persamaan (1) dan (2) :

   $a+b=11$
$\frac{a+3b=19}$ $-$
     $-2b=-8$
          $b=\frac{-8}{-2}$
               $=4$

Untuk mencari $a$ , subtitusi $b$ ke persamaan (1) atau anda juga bisa mensubtitusikannya ke persamaan (2) :
$a+b=11$

$a+4=11$
$a=11-4$
$=7$

setelah kita dapat menemukan $a$ dan $b$ . sekarang kita dapat mencari jumlah seluruh permen tersebut :
$S_{n} = \frac{n}{2} \left ( 2a + (n-1)b \right )$

$U_{5}=\frac{5}{2}\left ( 2\:.\:7+(5-1)4 \right )$
       $=\frac{5}{2}\left ( 14+4\:.\:4 \right )$
       $=\frac{5}{2}\left ( 14+16)$
       $=\frac{5}{2}\left ( 30 )$
       $=75$

dari penyelesaian di atas kita dapat menemukan bahwa jumlah seluruh permen anak tersebut adalah 75

4. Dari suatu barisan aritmatika, suku ketiga adalah 36, jumlah suku kelima dan ketujuh adalah 144. jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah ...

jawab :
diketahui : $U_{3}$ = 36
$U_{5}+U_{7}$ = 144

penyelesaian :
dari $U_{n} = a + (n-1).b$ , diperoleh :

$U_{3}=a+2b=36$                                     ....... (1)
$U_{5}+U_{7}=a+4b+a+6b=144$
                                 $2a+10b=144$       ....... (2)

Untuk mencari $b$ , eliminasi $a$ dari persamaan (1) dan (2) :

$a+2b=36$    $\left | 2 \right |$     $2a+4b=72$
$2a+10b=144$    $\left | 1 \right |$    $\frac{2a+10b=144}$ $-$
                                                        $-6b=-72$
                                                              $b=\frac{-72}{-6}$
                                                                   $=12$

Untuk mencari $a$ , subtitusi $b$ ke persamaan (1) atau anda juga bisa mensubtitusikannya ke persamaan (2) :
   $a+2b=36$

$a+2(12)=36$
      $a+24=36$
                $a=36-24$
                    $=12$

setelah kita dapat menemukan $a$ dan $b$ . sekarang kita dapat mencari jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut :
$S_{n} = \frac{n}{2} \left ( 2a + (n-1)b \right )$

$S_{10}=\frac{10}{2}\left ( 2\:.\:12+(10-1)12 \right )$
        $=\frac{10}{2}\left ( 24+9\:.\:12)$
        $=\frac{10}{2}\left ( 24+108)$
        $=5\:.\:132$
        $=660$

dari penyelesaian di atas kita dapat menemukan bahwa jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah 660

5. Seutas tali dipotong 52 bagian yang masing-masing potongan membentuk deret aritmatika. bila potongan tali terpendek adalah 3 cm dan yang terpanjang adalah 105 cm, maka panjang tali semula adalah .....

jawab :
diketahui : panjang tali semula = $S_{52}$
                           tali terpendek = 3, maka $U_{1}$ = 3
                           tali terpanjang = 105, maka $U_{52}$ = 105

mencari b :

$b=\frac{105-3}{52-1}$
$=\frac{102}{51}$
$=2$

karena $U_{1}$ = 3, maka $a$ = 3

setelah kita dapat menemukan $a$ dan $b$ . sekarang kita dapat mencari panjang tali semula deret tersebut :
$S_{n} = \frac{n}{2} \left ( 2a + (n-1)b \right )$

$S_{52}=\frac{52}{2}\left ( 2\:.\:3+(52-1)\:2)$
         $=26\left (6+(51)\:2)$
         $=26\:(6+102)$
         $=26\:.\:108$
         $=2808$

Semoga bermanfaat :)

OH MATEMATIKA !!!

Kamis, 06 Februari 2014

Deret Aritmatika

Tidak ada komentar:

Posting Komentar